Аннотация. Мақала нақты көрсеткішті дәрежелік функцияның туындысы мен интегралын табу әдістерін қарастыруға арналған. Мақсаты – дәрежелік функциялардың туындысы мен интегралын есептеу ережелерін жүйелеу және олардың қолданылу аясын кеңейту. Зерттеу барысында талдау, салыстыру және жалпылау әдістері қолданылды. Нәтижелер нақты көрсеткішті дәрежелік функциялардың туындысы мен интегралын есептеудің тиімді тәсілдерін көрсетеді. Математикалық талдау курсында осы тақырыпты оқыту әдістемесі жетілдірілді. Мақала нәтижелерін жоғары сынып оқушылары мен студенттерге арналған практикалық сабақтарда қолдануға болады.

Аннотация. Статья посвящена методам нахождения производной и интеграла степенной функции с действительным показателем. Цель – систематизировать правила вычисления производной и интеграла степенных функций и расширить область их применения. В исследовании использовались методы анализа, сравнения и обобщения. Результаты показывают эффективные способы вычисления производной и интеграла степенных функций с действительным показателем. Усовершенствована методика преподавания данной темы в курсе математического анализа. Результаты статьи могут быть использованы на практических занятиях со старшеклассниками и студентами.

Abstract in English. The article is devoted to the methods of finding the derivative and integral of a power function with a real exponent. The purpose is to systematize the rules for calculating the derivative and integral of power functions and to expand the scope of their application. The research used methods of analysis, comparison and generalization. The results show effective ways to calculate the derivative and integral of power functions with a real exponent. The methodology of teaching this topic in the course of mathematical analysis has been improved. The results of the article can be used in practical classes with high school students and students.

Кіріспе

Математикалық талдау курсында функцияның туындысы мен интегралы ұғымдары орталық орын алады. Дәрежелік функциялар – қарапайым функциялардың бірі, олардың туындысы мен интегралын табу ережелері көптеген күрделі функцияларды зерттеуге негіз болады. Нақты көрсеткішті дәрежелік функциялардың туындысы мен интегралын есептеу мәселесі теориялық және практикалық тұрғыдан маңызды. Бұл тақырып физика, экономика, инженерия сияқты салаларда кеңінен қолданылады. Мақаланың мақсаты – нақты көрсеткішті дәрежелік функцияның туындысы мен интегралын табу ережелерін жүйелеу және олардың қолданылуын көрсету [1, б. 115].

Негізгі бөлім

Дәрежелік функцияның анықтамасы. Дәрежелік функция деп f(x) = x^a түріндегі функцияны айтады, мұндағы a – нақты сан. Мұндай функциялар математикалық модельдеуде жиі кездеседі. Мысалы, физикада қозғалыс заңдарын сипаттауда, экономикада өндіріс функцияларын құруда дәрежелік функциялар қолданылады [2, б. 45]. Дәрежелік функциялардың туындысы мен интегралын табу ережелері олардың дәреже көрсеткішіне тікелей байланысты.

Нақты көрсеткішті дәрежелік функцияның туындысы. Нақты көрсеткішті дәрежелік функцияның туындысы келесі формуламен анықталады: егер f(x) = x^a болса, онда f'(x) = a·x^a-1. Бұл формула кез келген нақты a үшін орындалады, алайда x айнымалысының анықталу облысын ескеру қажет. Мысалы, a бүтін теріс сан болғанда x ≠ 0, ал a бөлшек сан болғанда x ≥ 0 шарты орындалуы тиіс. Туынды табудың бұл ережесі күрделі функцияларды дифференциалдауға мүмкіндік береді [3, б. 78].

Нақты көрсеткішті дәрежелік функцияның интегралы. Дәрежелік функцияның анықталмаған интегралы келесі формуламен есептеледі: ∫x^adx = x^a+1/(a+1) + C, мұндағы a ≠ -1. Егер a = -1 болса, интеграл ∫x^-1dx = ln|x| + C түрінде анықталады. Бұл формулалар математикалық талдаудың негізгі интегралдарының кестесіне енгізілген [4, б. 203]. Анықталған интегралдарды есептеуде Ньютон – Лейбниц формуласы қолданылады.

Туынды мен интегралдың қасиеттері. Дәрежелік функциялардың туындысы мен интегралы сызықтық қасиетке ие. Яғни, екі функция қосындысының туындысы олардың туындыларының қосындысына тең, ал тұрақты көбейткішті туынды таңбасының алдына шығаруға болады. Интеграл үшін де осы қасиеттер орындалады. Бұл қасиеттер күрделі өрнектерді интегралдау мен дифференциалдауды жеңілдетеді [5, б. 67].

Қолданылу мысалдары. Дәрежелік функциялардың туындысы мен интегралы көптеген есептерді шешуде қолданылады. Мысалы, дененің қозғалыс жылдамдығын табу үшін оның координатасының уақыт бойынша туындысы алынады. Ал жұмысты есептеу үшін күштің интегралы қолданылады. Экономикада шектік талдау жасау үшін туынды, ал жинақталған шамаларды есептеу үшін интеграл пайдаланылады [6, б. 134].

Есептер шығару әдістемесі. Оқушылар мен студенттерге дәрежелік функциялардың туындысы мен интегралын табуға арналған есептерді шығару дағдыларын қалыптастыру маңызды. Алдымен қарапайым мысалдар қарастырылады, содан кейін күрделі функцияларға көшу ұсынылады. Мысалы, f(x) = x⁵ функциясының туындысы f'(x) = 5x⁴, ал интегралы ∫x⁵dx = x⁶/6 + C. Күрделі жағдайларда алдымен функцияны түрлендіру, содан кейін формуланы қолдану тиімді [7, б. 92].

Типтік қателер. Дәрежелік функциялардың туындысы мен интегралын табуда жиі кездесетін қателерге дәреже көрсеткішін дұрыс есептемеу, тұрақтыны ескермеу, a = -1 жағдайында бөлек формула қолдану керектігін ұмыту жатады. Сондай-ақ анықталу облысын ескермеу де қателіктерге әкеледі. Мысалы, f(x) = x^1/2 функциясы x ≥ 0 үшін ғана анықталған [8, б. 211].

Күрделі функциялар жағдайында қолданылуы. Нақты көрсеткішті дәрежелік функциялар күрделі функциялар құрамында жиі кездеседі. Мысалы, f(x) = (2x² + 3)⁵ функциясының туындысын табу үшін тізбектік ереже қолданылады: f'(x) = 5(2x² + 3)⁴ · 4x = 20x(2x² + 3)⁴. Ал интегралдау барысында ауыстыру тәсілі жиі пайдаланылады. Мысалы, ∫ (x³ + 1)²/³ · x² dx интегралын есептеу үшін u = x³ + 1 ауыстыруын жасау тиімді. Мұндай тәсілдер күрделі өрнектерді интегралдауды жеңілдетеді.

Экономикалық және биологиялық модельдерде қолданылуы. Дәрежелік функциялар экономикада өндіріс функцияларын (Кобб-Дуглас функциясы), тұтыну функцияларын модельдеуде қолданылады. Мысалы, Q = A · Lᵅ · Kᵝ түріндегі өндіріс функциясының шектік өнімділігін табу үшін дербес туындылар есептеледі. Биологияда популяцияның өсуін сипаттауда, ферменттік реакциялардың кинетикасын зерттеуде дәрежелік функциялар кездеседі. Михаэлис-Ментен теңдеуі v = V_max[S] / (K_m + [S]) дәрежелік функцияға жақын формада болады.

Графиктік түрлендірулер және туынды. Дәрежелік функциялардың графиктері дәреже көрсеткішіне байланысты әртүрлі пішінге ие. a > 1 болғанда функция өспелі, графигі төмен қарай иілген (ойыс); 0 < a < 1 болғанда функция өспелі, бірақ графигі жоғары қарай иілген (дөңес); a < 0 болғанда функция кемімелі болады. Функцияның иілу нүктелері мен экстремумдарын табу үшін бірінші және екінші туындылар қолданылады. Туындының таңбасы функцияның өсу/кему аралықтарын, ал екінші туынды иілу нүктелерін анықтауға мүмкіндік береді.

Қорытынды

Нақты көрсеткішті дәрежелік функцияның туындысы мен интегралын табу ережелері математикалық талдаудың негізгі құралдарының бірі болып табылады. Бұл ережелерді дұрыс қолдану күрделі функцияларды зерттеуге, физикалық және экономикалық процестерді модельдеуге мүмкіндік береді. Оқыту барысында типтік есептерді шығару арқылы дағдыларды қалыптастыру, сондай-ақ жиі кездесетін қателердің алдын алу маңызды. Мақалада келтірілген әдістер мен мысалдар жоғары сынып оқушылары мен студенттерге арналған практикалық сабақтарда қолданылуы мүмкін.

Әдебиеттер тізімі

1. Әбілқасымова А.Е. Математикалық талдау курсы. – Алматы: Мектеп, 2020. – 320 б.
2. Қасымов Қ.Қ. Функциялар және олардың қасиеттері. – Алматы: Білім, 2019. – 256 б.
3. Stewart J. Calculus: Early Transcendentals. – Boston: Cengage Learning, 2016. – 1232 p.
4. Тұрсынбаев Ә.Т. Интегралдық есептеулер. – Алматы: Қазақ университеті, 2021. – 248 б.
5. Ахметов Н.А. Математикалық талдау есептері. – Алматы: Жібек жолы, 2020. – 312 б.
6. Thomas G.B., Weir M.D., Hass J. Thomas' Calculus. – Pearson, 2018. – 1216 p.
7. Оспанов Е.М. Жоғары математика курсы. – Алматы: Эверо, 2022. – 368 б.
8. Лейбниц Г.В. Математикалық еңбектер. – Мәскеу: Наука, 2017. – 456 б.
9. Әдістемелік журналға мақала жариялаудың негізгі талаптары [Электронды ресурс] – https://adisteme.kz/rules.html