Толқын теңдеулері физика мен инженерия саласындағы маңызды математикалық құралдардың бірі болып табылады. Олар әртүрлі физикалық жүйелерде орын алатын толқындық процестерді сипаттайды. Толқындар көптеген табиғи құбылыстармен байланысты, мысалы, жарық, дыбыс, су бетіндегі толқындар, сейсмикалық толқындар және тағы басқалар. Толқын теңдеулері көптеген қолданбалы ғылымдар мен техникалық салаларда кеңінен қолданылады, оның ішінде акустика, оптика, электродинамика, механика және т.б.

Бұл бөлімде толқын теңдеулерінің негізгі түрлері мен қасиеттері, сондай-ақ олардың шешу әдістері қарастырылады.

Толқын теңдеуі — бұл кеңістіктегі және уақыттағы белгілі бір шамалардың (мысалы, кеңістіктегі қысым, деформация немесе амплитуда) өзгерісін сипаттайтын дифференциалдық теңдеу. Бұл теңдеулерді шешу арқылы толқындардың уақыт пен кеңістіктегі таралуын сипаттайтын шешімдерді табуға болады.

Ең негізгі толқын теңдеуі келесідей түрде жазылады: мұндағы: u(x,t) — толқын амплитудасы, яғни уақыт пен кеңістіктегі толқынның тербелісін сипаттайтын функция. c — толқынның таралу жылдамдығы. — Лаплас операторы, кеңістіктегі екінші ретті туындыны білдіреді.

Бұл теңдеу кеңістіктегі әртүрлі толқындар, мысалы, механикалық толқындар, дыбыс толқындары, жарық толқындары және т.б., үшін жалпы модель болып табылады. Толқын теңдеуі жүйенің уақыт пен кеңістік бойынша қалай дамитынын анықтауға мүмкіндік береді.

Толқын теңдеулерінің шығуы көп жағдайда физикалық құбылыстарды модельдеуден келеді. Мысалы, механикалық толқындар үшін механикалық жүйелердегі қозғалыс теңдеулері арқылы толқын теңдеуі алынады. Бұл тұжырымдаманы қарастырғанда ең қарапайым мысал — серпімді ортада қозғалып жатқан тербелмелі жүйе.

Механикалық толқындар серпімді ортада таралатын деформациялар болып табылады. Мысалы, жіптегі немесе серпімді денедегі тербелістер толқындардың таралуын көрсетеді. Мұндай толқындар серпімділік күштері мен инерцияға байланысты кеңістік пен уақыт бойынша таралады.

Негізгі теңдеу ретінде серпімді дене үшін қозғалыс теңдеуі алынады, ол кейіннен толқын теңдеуіне айналады. Осылайша, серпімділік заңдары мен масса элементтерінің қозғалысы толқын теңдеуін шығарады.

Дыбыс толқындары ауада немесе басқа ортада қысымның өзгеруін тудырып, таралады. Бұл толқындар үшін де толқын теңдеуі қолданылады. Дыбыстық толқындардың жылдамдығы орта қасиеттеріне (тығыздық, температура және т.б.) байланысты өзгереді.

Толқын теңдеулерінің көптеген қызықты және маңызды қасиеттері бар, оларды шешуде маңызды рөл атқарады. Бұл қасиеттер толқындардың кеңістікте және уақыт бойынша таралуын, олардың шекаралық және бастапқы шарттарына әсерін түсінуге мүмкіндік береді.

Толқын теңдеулері әдетте сызықты болады. Бұл дегеніміз, егер екі түрлі толқынның шешімдері және болса, онда олардың сызықтық комбинациясы де толқын теңдеуін қанағаттандырады, мұндағы A және B — тұрақты коэффициенттер.

Бұл линейлік қасиет толқындардың қосарлануы принципін (superposition principle) анықтайды, яғни бірнеше толқындар өзара араласып, бір-біріне әсер етпей, өз бетімен тарала алады. Бұл қасиет толқындардың көптеген физикалық құбылыстарда байқалатын сипаттамасы болып табылады.

Толқын теңдеуінің маңызды қасиеттерінің бірі — толқынның таралу жылдамдығы. Толқынның таралу жылдамдығы ccc теңдеудегі операторы мен уақыт бойынша екінші туындының қатынасына тәуелді болады.

Толқынның таралу жылдамдығы ccc кеңістіктегі орта қасиеттеріне байланысты өзгереді. Мысалы, механикалық толқындардың таралу жылдамдығы ортаның тығыздығына және серпімділік модуліне байланысты, ал дыбыс толқындарының таралу жылдамдығы температура мен ауа қысымына тәуелді.

Толқын теңдеулерінің шешімдері көбінесе синусоидалық немесе экспоненциалдық функциялар түрінде болады. Бұл шешімдер толқындардың синусоидалық немесе гармоникалық тербелістерін сипаттайды. Толқындардың тербелістері әртүрлі болуы мүмкін, мысалы, стационарлы толқындар немесе жайлап таралатын толқындар.

Шешімдердің түрі толқынның шекаралық және бастапқы шарттарына, сондай-ақ орта қасиеттеріне байланысты болады. Толқындар жалпы түрде уақыт пен кеңістікте белгілі бір заңдылықтармен таралады, ал олардың амплитудалары уақыт пен кеңістіктегі өзгерістерге сәйкес өзгеруі мүмкін.

Толқын теңдеулерін шешу үшін бірнеше әдістер мен тәсілдер қолданылады, оның ішінде аналитикалық әдістер, сандық әдістер және әртүрлі математикалық трансформациялар бар.

Аналитикалық шешімдер көбінесе қарапайым геометрия мен тұрақты орта жағдайында қолданылады. Толқын теңдеулерін шешудің негізгі аналитикалық әдістері:

Фурье әдісі: Толқын теңдеулерін шешу үшін кеңістіктегі және уақыттағы функцияларды Фурье қатарларына түрлендіру қолданылады. Бұл әдіс толқынның әртүрлі жиіліктердегі компоненттерін бөліп көрсетуге мүмкіндік береді.

Лаплас түрлендіруі: Лаплас түрлендіруі, әсіресе уақыттық аймақта шешім табуда қолданылады. Ол уақытты сіңіріп, шешімді кеңістік аймағында іздеуге мүмкіндік береді.

Кейде аналитикалық шешімдер табу мүмкін болмайды, сондықтан сандық әдістер қолданылуы мүмкін. Бұл әдістер толқындардың шешімдерін дискреттеу арқылы табуға мүмкіндік береді. Ең көп қолданылатын сандық әдістердің бірі — айырмашылықтар әдісі (finite difference method), бұл әдіс толқын теңдеулерін кеңістік және уақыт бойынша дискретизациялауға негізделген.

Фурье әдісі: Толқын теңдеулерін шешу үшін кеңістіктегі және уақыттағы функцияларды Фурье түрлендірулеріне ажырату арқылы шешімдерді табуға болады. Бұл әдіс толқындардың жиіліктік құрамын бөліп көрсетуге мүмкіндік береді, сондықтан ол спектралды талдау жасауға негізделген.

Лаплас түрлендіруі: Лаплас түрлендіруі уақытты сіңіріп, оны кеңістік аймағында шешу мүмкіндігін береді. Бұл әдіс толқындардың уақыт бойынша эволюциясын сипаттайтын шешімдерді табуға өте тиімді.

Әр түрлі шекаралық және бастапқы шарттар бойынша шешімдер: Толқын теңдеулерінің шешімдерін табу үшін белгілі бір шекаралық және бастапқы шарттар қолданылуы керек. Бұл шарттар жүйенің нақты жағдайын сипаттайды және теңдеулердің шешімін айқындайды.

Сандық әдістер толқын теңдеулерінің шешімдерін дискреттеу арқылы табуға мүмкіндік береді. Бұл әдістер ерекше күрделі жағдайларда қолдану үшін маңызды, әсіресе геометриялық аймақтарда немесе өте күрделі шекаралық шарттарда. Сандық әдістердің басты ерекшелігі — олар нақты шешімді есептеу арқылы алу мүмкіндігін береді.

Айырмашылықтар әдісі (Finite Difference Method): Айырмашылықтар әдісі толқын теңдеулерін кеңістік және уақыт бойынша дискреттеу арқылы шешу әдісінің бір түрі. Бұл әдіс толқындар таралатын орта мен оның шекараларында уақыт бойынша қадамдар жасап, белгілі бір шешімдерді есептейді.

Қоршаған ортаны модельдеу: Компьютерлік модельдеу құралдары, мысалы, MATLAB немесе COMSOL сияқты программалар, сандық әдістерді қолдана отырып, толқындардың кеңістіктегі және уақыттағы таралуын нақты модельдеу үшін қолданылады. Бұл құралдар күрделі құрылымдарды, шекаралық жағдайларды және басқа да аймақтарды жақсы сипаттай алады.

Сызықтық және сызықтық емес теңдеулерді шешу: Толқын теңдеулерін сандық әдістер арқылы шешу сызықтық және сызықтық емес теңдеулер үшін тиімді. Сандық шешімдер нақты жүйенің динамикасын бақылауға және оның уақыт бойынша тұрақтылығын зерттеуге мүмкіндік береді.

Толқын теңдеулері әртүрлі ғылыми және инженерлік салаларда кеңінен қолданылады. Олардың қолдану ауқымы өте кең, және әртүрлі салалардағы құбылыстарды түсіну үшін өте маңызды.

Характеристикалық төртбұрыштың геометриясы және толқындардың таралуы

Физика мен инженерия саласында толқындардың таралуы әртүрлі орталарда зерттеледі. Бұл зерттеу, әсіресе толқындардың таралу заңдылықтарын түсінуде маңызды, өйткені ол әртүрлі физикалық процестердің тиімділігін арттыруға мүмкіндік береді. Толқындар — бұл кеңістіктегі энергияның белгілі бір бағытта таралуы, және олар уақыт пен кеңістіктегі әртүрлі өзгерістерді сипаттайды. Толқындардың кеңістіктегі таралуы мен олардың жылдамдығы ортаның қасиеттеріне байланысты болады.

Жалпы алғанда, толқындардың кеңістікте таралуы мен олардың уақыттағы өзгерістерін зерттеу үшін математикалық модельдер мен теңдеулер қолданылады. Толқын теңдеулерін шешу кезінде физикалық жүйенің геометриясы маңызды рөл атқарады, себебі әртүрлі геометриялық пішіндер толқындардың таралуын әртүрлі әсер етеді.

Бұл жұмыста біз характеристикалық төртбұрыш геометриясы және оның ішінде толқындардың таралуын зерттейміз. Характеристикалық төртбұрыш ортаның белгілі бір кеңістіктік аймағында толқындардың таралуын сипаттайтын геометриялық пішін ретінде қарастырылады. Ол әртүрлі шекаралық және бастапқы шарттармен толқындардың таралуын модельдеу үшін қолданылады.

Характеристикалық төртбұрыш геометриясы — бұл кеңістіктегі белгілі бір шекаралармен шектелген аймақ болып табылады. Бұл аймаққа толқындардың белгілі бір бағытта таралуы немесе бұрылуы мүмкін. Толқындардың таралуы, әдетте, геометрияның пішіні мен өлшемдеріне байланысты болады.

Ашық шекаралар: Толқындар шекарадан өтіп, шекара сыртында да тарала алады.

Жабық шекаралар: Толқындар шекараға жетіп, кері қайтады немесе тоқтайды.

Рефлексивті шекаралар: Толқындар шекараға жетіп, өзінің бағытынан кері бұрылады.

Бұл шекаралық шарттар толқындардың таралуына тікелей әсер етеді және жүйенің динамикасын сипаттайды.

Төртбұрыштың әртүрлі өлшемдері толқындардың таралуына әсер етеді. Төртбұрышты аймақтың ұзындығы мен ені, сонымен қатар оның шекараларына қатысты орналасқан көздер толқындардың бағытын, амплитудаларын және таралу жылдамдығын анықтайды.

Ұзын төртбұрыш: Егер төртбұрыштың бір қабырғасы екінші қабырғасынан әлдеқайда ұзын болса, онда толқындар тек ұзын бағытта таралады. Бұл жағдай жиі бірқалыпты толқындармен сипатталады.

Тең төртбұрыш: Егер төртбұрыштың барлық қабырғалары бірдей болса, онда толқындар барлық бағыттарда бірдей таралады. Бұл жағдай көптеген физикалық жүйелерде зерттеледі, мысалы, резонаторлар мен толқындар таралатын жасанды ортада.

Толқындардың таралуы физика мен инженериядағы маңызды мәселелердің бірі болып табылады. Толқындардың таралуы кезінде ортаның физикалық қасиеттері, сондай-ақ геометриялық пішіні толқындардың жылдамдығын, бағыттылығын және амплитудасын анықтайды.

Толқындардың таралуы әртүрлі физикалық жүйелерде пайда болуы мүмкін, мысалы:

Механикалық толқындар: Серпімді денелерде (мысалы, жіпте, сымда немесе серпімді қабырғаларда) таралатын толқындар.

Дыбыс толқындары: Ауа немесе басқа ортада таралатын қысымның өзгерістері.

Су толқындары: Судағы тербелістер мен қозғалыстар.

Электромагниттік толқындар: Электр өрістерінің және магнит өрістерінің өзара әсерінен таралатын толқындар.

Толқындардың таралуы жүйенің бастапқы және шекаралық шарттарына, сондай-ақ геометриясына байланысты болады. Бұл таралу ортада белгілі бір жылдамдықпен, белгілі бір бағытта жүреді, ол да толқынның түріне тәуелді.

Толқын теңдеулері физикалық жүйенің динамикасын сипаттайды. Олар әртүрлі ортада толқындардың кеңістіктегі және уақыттағы өзгерістерін математикалық түрде көрсетеді.

Толқын теңдеуі жүйенің динамикасын толықтай сипаттайды және оның шешімдері толқынның кеңістіктегі және уақыттағы таралуын көрсетеді.

Толқындардың таралуы геометрияға қатты тәуелді. Характеристикалық төртбұрышты аймақтың пішіні мен өлшемдері толқындардың таралуын өзгертуі мүмкін. Толқындар төртбұрышты аймақта белгілі бір бағытта таралады, ал басқа бағыттарда олар тоқтайды немесе бұрылады.

Сызықты таралу: Егер төртбұрыштың қабырғалары параллель болса, толқындар тек бір бағытта таралады.

Жартылай толқындық таралу: Егер төртбұрышты аймақ кеңістіктегі басқа элементтермен немесе шекаралармен шектелсе, толқындар тек шекара бойымен ғана таралып, кейін қайта бағытталуы мүмкін.

Интерференция — бұл екі немесе одан да көп толқындардың бірігуі кезінде олардың бір-біріне әсер етуі. Интерференция нәтижесінде толқындардың амплитудалары қосылады немесе азаяды. Бұл құбылыс оң және теріс интерференция болып бөлінеді.

Құрылымды интерференция: Толқындар бір-бірімен қосылып, оларды күшейтеді.

Сандық әдістердің маңызы мен ерекшеліктері

Толқын теңдеулері табиғатта, техникада, және ғылымның түрлі салаларында кездесетін өте маңызды құбылыстарды сипаттайды. Олар динамикалық жүйелердің уақыт пен кеңістік бойынша өзгеруін сипаттайтын теңдеулер жүйесін құрайды. Бұл теңдеулер, мысалы, электромагниттік толқындардың, дыбыс толқындарының, су толқындарының және басқа да толқындық процестердің таралуын сипаттайды. Толқын теңдеулерін шешу әртүрлі салада өте маңызды болып табылады, өйткені олар жүйенің мінез-құлқын, энергетикалық таралуын, және басқа да қасиеттерін түсінуге мүмкіндік береді.

Толқын теңдеулерін шешу көбінесе аналитикалық шешімдермен ғана емес, сонымен қатар сандық және алгебралық әдістер арқылы жүзеге асырылады. Бұл әдістер әртүрлі физикалық жүйелердегі толқындардың таралуын анықтауға мүмкіндік береді. Әсіресе күрделі шекаралық шарттар мен бастапқы жағдайларда аналитикалық әдістермен шешу қиын болса, сандық әдістер маңызды рөл атқарады.

Бұл жұмыстың мақсаты — толқын теңдеулерін шешудегі сандық және алгебралық әдістердің қолданылуын талдау, олардың артықшылықтары мен кемшіліктерін анықтау, және нақты есептерді шешудегі тиімділігін көрсету.

Толқын теңдеулері негізінен физикалық жүйелерде уақыт пен кеңістіктегі өзгерістерді сипаттайтын дифференциалды теңдеулер болып табылады.

Бұл теңдеу әртүрлі физикалық құбылыстарды сипаттайды, мысалы:

Электромагниттік толқындар: Электромагниттік өріс толқындары Максвелл теңдеулеріне негізделген толқын теңдеулерімен сипатталады.

Су толқындары: Су толқындары гидродинамикалық теңдеулер арқылы модельденеді.

Дыбыс толқындары: Дыбыс толқындары ауада таралатын механикалық толқындар ретінде сипатталады.

Кванттық механикадағы толқындар: Кванттық механикада Шрёдинггер теңдеуі толқындық табиғатта болатын кванттық объектілерді сипаттайды.

Толқын теңдеулерінің шешілуі, әдетте, үш негізгі бағытта жүреді: аналитикалық әдістер, сандық әдістер және алгебралық әдістер.

Сандық әдістер — бұл дифференциалды теңдеулер мен шекаралық шарттар жүйесін шешудің тиімді тәсілі болып табылады. Олар аналитикалық шешімдермен шешілуі қиын болатын немесе нақты шешімдері жоқ теңдеулер үшін қолданылады. Сандық әдістердің маңызды артықшылығы — олар күрделі геометрияларды және шарттарды ескеретін нақты модельдерде қолданылуы мүмкін.

Сандық әдістерді қолдану кезінде әртүрлі амалдар пайдаланылады, мысалы, айырмашылықтар әдісі, элементтер әдісі, бөлшектер әдісі және басқалары.

Айырмашылықтар әдісі (Finite Difference Method) уақыт пен кеңістіктегі дифференциалды теңдеулерді айырмашылық теңдеулеріне айналдырып, оларды шешу үшін қолданылатын сандық әдіс болып табылады. Бұл әдіс әртүрлі шекаралық шарттар мен бастапқы жағдайлар үшін қолданылады.

байланысты ең тиімді әдіс таңдалуы керек.

Жалпы, толқын теңдеулерін шешу саласындағы жетістіктер сандық және алгебралық әдістердің тиімді үйлесімін табуға байланысты болмақ.

Төртбұрышты аймақта толқындарды сандық шешу

Толқындардың таралуы физика мен инженерия салаларында өте маңызды мәселе болып табылады, өйткені олар әртүрлі табиғи және жасанды жүйелердің жұмысын сипаттайды. Бұл эсседе төртбұрышты аймақта толқындардың сандық шешімін табу мәселесі қарастырылады. Төртбұрышты аймақта толқындар жиі кездесетін мәселелердің бірі болып табылады, себебі бұл геометрия қарапайым болып көрінгенімен, әртүрлі физикалық жағдайларда (мысалы, дыбыс толқындары, электромагниттік толқындар, судың толқындары) қолданылуы мүмкін.

Толқындардың таралуы әртүрлі физикалық жүйелерді сипаттайтын маңызды құбылыс болып табылады. Толқындар уақыт пен кеңістік бойынша таралатын энергияның қозғалысы болып табылады. Бұл процестер әртүрлі табиғи және жасанды жағдайларда кездеседі, мысалы, судың бетінде пайда болатын толқындар, ауада таралатын дыбыс толқындары немесе электромагниттік өріс толқындары.

Төртбұрышты аймақта толқындардың таралуы ерекше қызығушылық туғызады, себебі оның геометриясы өте қолайлы: бұл аймақтағы шекаралық шарттарды тиімді орнатуға болады.

Сандық әдістердің көмегімен толқындар теңдеуін шешу әрқашан қолданбалы мәселелердің бір бөлігі болып табылады. Мысалы, инженерияда, физикада, және басқа да ғылымдарда түрлі салалардағы толқындардың мінез-құлқын болжау және басқару үшін сандық әдістер қолданылады. Сандық әдістер аналитикалық шешімдерді алу мүмкін болмаған жағдайда немесе өте күрделі шекаралық шарттар болғанда қолданылады. Төртбұрышты аймақта толқындардың сандық шешімін табу үшін сандық әдістердің бірнеше түрлері қолданылады.

Сандық әдістер — бұл дифференциалды теңдеулер мен шекаралық шарттар жүйесін шешудің тиімді тәсілі болып табылады. Бұл әдістерде нақты шешімдер есептеледі, алайда олар тек жуық мәндер береді. Сандық әдістерді қолданудың артықшылығы — олар әртүрлі күрделі шекаралық шарттар мен бастапқы жағдайларда толқындар теңдеуін шешуге мүмкіндік береді.

Айырмашылықтар әдісі — бұл дифференциалды теңдеулерді шешудің ең қарапайым және жиі қолданылатын сандық әдісі. Бұл әдіс уақыт пен кеңістікті торға бөлу арқылы дифференциалды теңдеулерді айырмашылықтар теңдеулеріне айналдырады.

Айырмашылықтар әдісінің артықшылығы — бұл әдіс қарапайым және есептеуге оңай, бірақ оның дәлдігі тордың қадамдарының өлшемдеріне байланысты. Егер қадамдар өте үлкен болса, онда шешімнің дәлдігі төмендейді.

Сызықтық элементтер әдісі (FEM) сандық әдістердің басқа бір түрі болып табылады, және бұл әдіс әсіресе күрделі геометрия мен шекаралық шарттарды ескеретін есептер үшін өте қолайлы. FEM әдісі негізінен физикалық жүйелерді қарапайым элементтерге бөлу арқылы шешім іздейді.

Толқындар теңдеуін шешу үшін FEM әдісі кеңістікті торға бөлуге негізделген және әр элемент үшін дифференциалды теңдеулерді шешеді. Осы элементтер арқылы жүйенің жалпы шешіміне қол жеткізуге болады. FEM әдісі өте тиімді және дәл шешімдер береді, бірақ есептеу уақытын көп талап етуі мүмкін.

Дирихле шарттары (немесе амплитудалық шекаралар) — бұл шарттар бойынша, аймақтың шекарасында толқынның амплитудасы белгілі бір тұрақты мәнге тең болады. Мысалы, дыбыс толқындары үшін бұл шарттар дыбыс көзінен белгілі бір қашықтықта амплитуданың қандай да бір мәнге тең болуын қамтамасыз етеді.

Нейман шарттары (немесе жылдамдықты шекаралар) — бұл шарттар бойынша, аймақтың шекарасында толқынның туындысы (немесе жылдамдығы) белгілі бір мәнге тең болады. Мұндай шекаралық шарттар толқынның белгілі бір бағытта жылжуын немесе баяулауын сипаттайды.

Робин шарттары (аралас шарттар) — бұл шарттар дирихле және нейман шарттарының комбинациясын білдіреді. Бұл шарттар толқынның амплитудасы мен жылдамдығы арасындағы белгілі бір қатынасты сипаттайды.

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1. Халл, Р., Сорентино, Р. Информатика: мәселелер, әдістер және перспективалар. Мәскеу: ЛКИ баспасы, 2013.
2. Диконов, а. Информатика: 7-сыныпқа арналған оқулық. Мәскеу: Ағарту, 2015.
3. Самарский, А., Гулин, А. Сандық әдістер: жоғары оқу орындарына арналған оқу құралы. Мәскеу: Ғылым, 2016.
4. Трифонов, в. мектепте информатиканы оқыту әдістері: оқу құралы. Мәскеу: Юрайт Баспасы, 2017.
5. Ахметов, А. информатика және есептеу техникасы негіздері: ЖОО студенттеріне арналған оқу құралы. Мәскеу: кітап әлемі, 2018.
6. Галочкин, о., Лихтарович, Е. Информатика: педагогикалық жоғары оқу орындарының студенттеріне арналған оқу құралы. Мәскеу: Юрайт, 2019.
7. Блок, Б. информатика және есептеу техникасының негіздері: жоғары оқу орындарына арналған оқулық. Мәскеу: ММТУ баспасы. Бауман, 2020.
8. Киселев, В. Информатика және ақпараттық технологиялар: жоғары оқу орындарының студенттеріне арналған оқу құралы. Мәскеу: ЛКИ баспасы, 2021.
9. Шилов, А. Python бағдарламалау негіздері: жаңадан бастаушыларға арналған оқулық. Мәскеу: БХВ баспасы-Петербург, 2022.
10. Сидоров, П., Болатов, Д. компьютерлік графика: техникалық жоғары оқу орындарының студенттеріне арналған оқу құралы. Мәскеу: ММТУ баспасы. Бауман, 2023.
11. Анацкая а. г. оқытудың интерактивті әдістері / / инновациялық білім және экономика, 2011.Андреев В.И. шығармашылық өзін-өзі дамыту педагогикасы / В. И. Андреев. - Қазан: КМУ басылымы, 1998 ж.
12. Эпифания Д. Н. мектепте білімді игеру психологиясы / Д. Н. Эпифания, Н. А. Менчинская. – М.: АПН, 2007.Белкин е.л. техникалық оқыту құралдарын қолдану жағдайында танымдық қызметті басқарудың дидактикалық негіздері / Е. Л. Белкин. Ярославль: Жоғарғы, 1982.
13. Варегина Ф. в. бастауыш сынып оқушыларында оқу дағдыларын қалыптастырудың дидактикалық шарттары: реферат. дис. .канд. пед. ғылымдар. Л., 1980.
14. Выготский л. с. педагогикалық психология ред. В. В. Давыдова. М.: АСТ; Астрель, 2010.
15. Грязнов Ю. П. оқушылардың танымдық белсенділігін дамыту / Ю. П. Грязнов, Л.А. Лисина, п. и. Самойленко, – 2002.

екіжақты Н. Н. оқытудың интерактивті әдістері негізгі құзыреттерді қалыптастыру құралы ретінде / / Ғылым және білім: Электрондық ғылыми-техникалық басылым, 2011 ж.