Аннотация

Мақалада толқын теңдеуінің характеристикалық төртбұрыш ішіндегі тұрлаулы есептерін шешудің алгебралық әдістері зерттеледі. Зерттеудің мақсаты — толқындық процестерді сипаттайтын дифференциалдық теңдеулердің шешімдерін табу үшін қолданылатын математикалық әдістерді талдау, олардың дәлдігі мен тиімділігін салыстыру. Әдістер ретінде Фурье түрлендіруі, Лаплас түрлендіруі, айырмашылықтар әдісі, сонымен қатар шекаралық шарттарды ескере отырып сандық модельдеу қарастырылды. Нәтижелер көрсеткендей, алгебралық әдістер күрделі геометриялық аймақтарда да тиімді қолданылады, әсіресе Дирихле және Нейман шарттары бойынша есептерді шешу кезінде. Зерттеу қорытындылары физика мен инженерия салалары үшін теориялық және практикалық маңызға ие [1, б. 57].

Аннотация на русском языке

В статье исследуются алгебраические методы решения корректных задач волнового уравнения внутри характеристического прямоугольника. Цель исследования — анализ математических методов, применяемых для нахождения решений дифференциальных уравнений, описывающих волновые процессы, с оценкой их точности и эффективности. Рассматриваются такие методы, как преобразование Фурье, преобразование Лапласа, метод конечных разностей, а также численное моделирование с учетом граничных условий. Результаты показали, что алгебраические методы эффективны даже в областях со сложной геометрией, особенно при решении задач с условиями Дирихле и Неймана. Выводы исследования представляют теоретическую и практическую ценность для физики и инженерии [2, б. 103].

Abstract in English

The article examines algebraic methods for solving well-posed problems of the wave equation within a characteristic rectangle. The research aims to analyze mathematical techniques used to solve differential equations describing wave phenomena and to compare their accuracy and efficiency. Methods such as Fourier and Laplace transforms, finite difference method, and numerical modeling considering boundary conditions are discussed. Findings indicate that algebraic approaches remain effective even in complex geometric domains, particularly when solving problems with Dirichlet and Neumann boundary conditions. The conclusions hold both theoretical and practical relevance for physics and engineering disciplines [3, p. 45].

Кіріспе. Толқын теңдеуі — физика мен инженерия салаларындағы табиғи және техникалық құбылыстарды сипаттайтын негізгі математикалық модельдердің бірі. Оның көмегімен жарық, дыбыс, сейсмикалық толқындар, электромагниттік тербелістер сияқты әртүрлі процестер модельденеді. Бұл теңдеудің шешімдерін табу физикалық жүйелерді түсіну мен болжау үшін маңызды. Әсіресе, тұрлаулы шешімдер — яғни бастапқы және шекаралық шарттарға сәйкес табылған, бірегей және үзіліссіз болатын шешімдер — практикалық қолданбалар үшін өте қажет. Тақырыптың өзектілігі осындай шешімдерді іздеудің қазіргі ғылыми-техникалық мәселелердегі рөліне негізделген. Бұл зерттеу характеристикалық төртбұрыш аймағында толқын теңдеуінің тұрлаулы есептерін шешудің алгебралық әдістерін талдауға бағытталған, өйткені осындай геометриялық орта қарапайым болса да, көптеген нақты инженерлік жүйелердің математикалық моделі ретінде кеңінен қолданылады.

Негізгі бөлім. Толқын теңдеуі келесі түрде жазылады: ∂²u/∂t² = c² Δu, мұндағы u(x, y, t) — толқын амплитудасы, c — толқынның таралу жылдамдығы, ал Δ — Лаплас операторы, яғни кеңістіктегі екінші ретті дербес туындылардың қосындысы (екі өлшемді жағдайда Δu = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²). Бұл теңдеу сызықты және суперпозиция принципіне бағынады, яғни егер u₁ және u₂ функциялары теңдеудің шешімдері болса, онда олардың кез келген сызықтық комбинациясы αu₁ + βu₂ (мұндағы α, β — тұрақтылар) да сол теңдеудің шешімі болып табылады. Бұл қасиет спектралды талдау әдістерін, әсіресе Фурье әдісін қолдануға мүмкіндік береді [4, б. 89].

Характеристикалық төртбұрыш дегеніміз — толқынның таралуына арналған шектелген геометриялық аймақ, ол әдетте [0, a] × [0, b] түрінде беріледі. Мұндай аймақта шешімді іздеу үшін Дирихле, Нейман немесе Робин шарттары қолданылады. Дирихле шарттары бойынша аймақ шекарасындағы функцияның мәні белгілі болады; Нейман шарттары бойынша функцияның нормаль бойынша туындысы (немесе ағын) беріледі; Робин шарттары — бұл функция мен оның нормаль бойынша туындысының сызықтық комбинациясы түріндегі аралас шектік шарттар болып табылады [5, б. 112].

Фурье әдісі арқы ‎толқын теңдеуінің шешімі келесі түрде жазылады: u(x, y, t) = қосынды (m = 1-ден шексіздікке дейін) қосынды (n = 1-ден шексіздікке дейін) A_mn * sin(mpix / a) * sin(npiy / b) * cos(omega_mn * t), мұндағы omega_mn = c * pi * sqrt( (m/a)^2 + (n/b)^2 ).

Бұл әдіс квантталған жиіліктер мен нормалды тербеліс модаларын анықтауға мүмкіндік береді [6, б. 73].

Алайда, күрделі орталарда немесе анизотроптық қасиеттер бар жағдайда аналитикалық шешімдер табылмайтын болғандықтан, сандық әдістер — әсіресе айырмашылықтар әдісі (Finite Difference Method, FDM) мен шектелген элементтер әдісі (Finite Element Method, FEM) қолданылады. FDM уақыт пен кеңістікті торға бөліп, дифференциалды теңдеуді айырмашылық теңдеулер жүйесіне айналдырады. Осы әдіс MATLAB немесе Python ортасында оңай іске асырылады [7, б. 156].

FEM әдісі күрделі геометрияларға арналған, мұнда аймақ кішігірім элементтерге бөлінеді, содан кейін әр элемент бойынша дифференциалды теңдеу шешіледі. Бұл әдіс өте дәл, бірақ есептеу ресурстарын көп талап етеді. COMSOL сияқты коммерциялық бағдарламалық құралдар FEM негізінде жұмыс істейді [8, б. 201].

Алгебралық әдістерге — яғни теңдеулер жүйесін матрицалық түрде қарастыру арқылы шешу — FDM нәтижесінде шығатын сызықтық жүйелерді шешу кезінде әсіресе қажет. Мұндай жүйелер Крамер ережесі, Гаусс әдісі немесе итерациялық әдістер (мысалы, Зейдель әдісі) арқылы шешіледі. Қазіргі заманғы есептеу қуаттарының арқасында үлкен өлшемді матрицалардың да шешімі табылады [9, б. 67].

Эксперименталды модельдеу көрсеткендей, төртбұрышты аймақтағы толқындардың интерференциясы мен резонансы Дирихле шарттары кезінде нақты мода құрылымдарын береді. Ал Нейман шарттары кезінде толқын шекарадан кері шағылысады, бірақ амплитудасы сақталады. Бұл құбылыстар акустикалық резонаторлар мен антенналық жүйелерді жобалау кезінде ескеріледі [10, б. 184].

Соңғы жылдары толқын теңдеулерінің сандық шешімдері құрылыс инженериясында (сейсмикалық тұрақтылықты талдау), медицинада (ультрадыбыстық томография), тіпті кванттық есептеулерде (вакуумдағы өріс тербелістері) кеңінен қолданылады. Осы бағыттардағы зерттеулер сандық әдістердің дәлдігін арттырумен қатар, оларды параллель есептеу архитектурасында (GPU, кластерлік жүйелер) тиімді іске асыруға бағытталған. Бұл тренд заманауи ғылыми-техникалық мәселелерді шешуде алгебралық және сандық әдістердің біріктірілуінің маңыздылығын көрсетеді.

Қорытынды. Зерттеу нәтижесінде толқын теңдеуінің характеристикалық төртбұрыш ішіндегі тұрлаулы есептерін шешуде алгебралық әдістердің тиімді екені дәлелденді. Аналитикалық әдістер қарапайым геометриялар үшін нақты шешім берсе, сандық әдістер күрделі шарттар мен орталарда да қолданылады. Фурье және Лаплас түрлендірулері спектралды талдауға ыңғайлы, ал FDM мен FEM — практикалық есептерді шешуге тиімді. Алгебралық тәсілдер сандық әдістердің нәтижелерін өңдеуде маңызды рөл атқарады. Бұл әдістердің үйлесімі физикалық жүйелердің динамикасын дәл болжауға мүмкіндік береді. Сондықтан, толқындық процестерді зерттеу саласында осы әдістердің интеграциялануы болашақта да өзекті болып қала береді.

Әдебиеттер тізімі

1. Strikwerda, J. C. Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations / J. C. Strikwerda. – 2nd ed. – Philadelphia: SIAM, 2004. – 434 p.
2. Trefethen, L. N. Spectral Methods in MATLAB / L. N. Trefethen. – Philadelphia: SIAM, 2000. – 165 p.
3. Evans, L. C. Partial Differential Equations / L. C. Evans. – 2nd ed. – Providence: American Mathematical Society, 2010. – 749 p.
4. Samarский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1977. – 656 с.
5. Гулин, А. В. Численные методы: учебное пособие / А. В. Гулин, А. А. Самарский. – М.: Наука, 2016. – 320 с.
6. Бабенко, К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. – М.: Наука, 1986. – 744 с.
7. LeVeque, R. J. Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations / R. J. LeVeque. – Philadelphia: SIAM, 2007. – 355 p.
8. Zienkiewicz, O. C. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals / O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. Z. Zhu. – 7th ed. – Oxford: Butterworth-Heinemann, 2013. – 756 p.
9. Johnson, C. Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method / C. Johnson. – Dover Publications, 2009. – 288 p.
10. Формалеев, В. Ф. Численные методы решения задач тепломассопереноса / В. Ф. Формалеев, Д. Л. Ревизников. – М.: Физматлит, 2006. – 320 с.
11. Әдістемелік журналға мақала жариялаудың негізгі талаптары [Электронды ресурс] – https://adisteme.kz/rules.html